Задача 109616

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Показательные неравенства ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Может ли число, получаемое выписыванием в строку друг за другом целых чисел от 1 до n ( n>1 ), одинаково читаться слева направо и справа налево?

Решение

Пусть  N =   – m-значное симметричное число, полученное выписыванием чисел от 1 до n (очевидно,  m > 18),  A и B – соответственно числа, составленные из первых и последних k цифр числа N, k = [] .   Тогда, если 10^p – наибольшая степень десятки, полностью вошедшая в A, то n < 2·10^p+1, то есть n не более, чем (p+2)-значно. Кроме того, A содержит фрагмент  99...9_p100...0_p1, а значит, B – фрагмент  100...0_p199...9_p,  что, как легко видеть, невозможно.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1996
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	96.5.11.1