|
|
 |
Условие
В вершинах куба записали восемь различных натуральных чисел, а на каждом его ребре – наибольший общий делитель двух чисел, записанных на концах этого ребра. Могла ли сумма всех чисел, записанных в вершинах, оказаться равной сумме всех чисел, записанных на рёбрах?
Решение
Заметим, что если a и b – два натуральных числа и a > b, то НОД(a, b) ≤ b и 2НОД(a, b) ≤ a. Поэтому при a ≠ b верно неравенство
3НОД(a, b) ≤ a + b. Складывая 12 таких неравенств, соответствующих 12 рёбрам куба, получаем, что требуемое условиями равенство возможно только тогда, когда для каждого ребра НОД(a, b) = a+b/3. Но в этом случае наибольшее из чисел a и b вдвое больше наименьшего. Рассмотрим числа a, b на произвольном ребре; пусть, скажем, a = 2b. Рассмотрим числа c и d, стоящие на концах двух других рёбер, выходящих из вершины с числом a. Каждое из них должно быть вдвое больше или вдвое меньше числа a. Если хотя бы одно вдвое меньше, оно равно b, если оба вдвое больше, то они равны между собой. Оба варианта противоречат условию.
Ответ
Не могла.
