|
|
 |
Условие
Пусть натуральные числа x, y, p, n и k таковы, что
xn + yn = pk.
Докажите, что если число n (n > 1) нечётно, а число p нечётное простое, то n является степенью числа p (с натуральным показателем).
Решение
Пусть m = НОД(x, y). Тогда x = mu, y = mv и mn(un + yn) = pk, поэтому m = pα для некоторого целого неотрицательного α. Следовательно,
un + vn = pk–nα.
Так как n нечётно, то un + vn = (u + v)(un–1 – un–2v + un–3v2 – ... – uvn–2 + vn–1) = A(u + v).
По условию p > 2, следовательно, хотя бы одно из чисел u, v больше 1 (ибо u + v кратно p), а так как n > 1, то и A > 1. Из равенства вытекает, что
A(u + v) = pk–nα, а так как u + v > 1 и A > 1, то каждое из этих чисел делится на p; более того, u + v = pβ для некоторого натурального β. Значит,
A = un–1 – un–2(pβ – u) + un–3(pβ – u)2 – ... – u(pβ – x)n–2 + (pβ – u)n–1 = nun–1 + Bpβ.
Число A кратно p, а число u взаимно просто с p, следовательно, n делится на p. Пусть n = pq. Тогда (xp)q + (yp)q = pk. Если q > 1, то, как мы только что доказали, q делится на p. Если q = 1, то n = p.
Повторяя это рассуждение, мы получим, что n = pl для некоторого натурального l.
