ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109633
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть натуральные числа x, y, p, n и k таковы, что   xn + yn = pk.
Докажите, что если число n  (n > 1)  нечётно, а число p нечётное простое, то n является степенью числа p (с натуральным показателем).


Решение

  Пусть  m = НОД(x, y).  Тогда x = mu,  y = mv  и  mn(un + yn) = pk,  поэтому  m = pα  для некоторого целого неотрицательного α. Следовательно,
un + vn = pk–nα.
  Так как n нечётно, то  un + vn = (u + v)(un–1un–2v + un–3v2 – ... – uvn–2 + vn–1) = A(u + v).
  По условию  p > 2,  следовательно, хотя бы одно из чисел u, v больше 1 (ибо  u + v  кратно p), а так как  n > 1,  то и  A > 1.  Из равенства вытекает, что
A(u + v) = pk–nα,  а так как  u + v > 1  и  A > 1,  то каждое из этих чисел делится на p; более того,  u + v = pβ  для некоторого натурального β. Значит,
A = un–1un–2(pβu) + un–3(pβu)2 – ... – u(pβx)n–2 + (pβu)n–1 = nun–1 + Bpβ.
  Число A кратно p, а число u взаимно просто с p, следовательно, n делится на p. Пусть  n = pq.  Тогда  (xp)q + (yp)q = pk.  Если  q > 1,  то, как мы только что доказали, q делится на p. Если  q = 1,  то  n = p.
  Повторяя это рассуждение, мы получим, что  n = pl  для некоторого натурального l.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1996
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 96.5.9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .