ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109635
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Разложение на множители ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Признаки делимости на 3 и 9 ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Купцов Л.

Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдётся бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.


Решение

   Докажем, что для всех натуральных n число  1081n – 1  делится на 729. Действительно,  1081n – 1 = (1081)n – 1  делится на  1081 – 1,  а
1081 – 1 = (109 – 1)(1072 + 1063 + ... + 1) = (10 – 1)(108 + 107 + ... + 1)(1072 + 1063 + ... + 1).
   Второй сомножитель и третий сомножитель – числа, в записи каждого из которых содержится по 9 единиц, поэтому они делятся на 9. Следовательно,  1081 – 1  делится на  93 = 729.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1996
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 96.5.9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .