|
|
 |
Условие
В тетраэдр ABCD , длины всех ребер которого не более 100, можно поместить
две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить
одну сферу диаметра 1,01.
Решение
Рассмотрим множества M центров сфер диаметра 1, лежащих в данном
тетраэдре T . Так как M – множество точек, удаленных от всех граней
T не менее, чем на 1/2 , то M – это тетраэдр с гранями,
параллельными граням тетраэдра T , т.е. M и T гомотетичны.
Центры вписанных сфер обоих тетраэдров совпадают, поэтому коэффициент
k гомотетии равен , где r – радиус сферы,
вписанной в T .
С другой стороны, две сферы единичного диаметра не пересекаются, поэтому
расстояние между их центрами не меньше 1, значит, длина одного из ребер
тетраэдра M , содержащего эти центры, не меньше 1. Отсюда следует, что
k
(длины ребер тетраэдра T не больше 100), т.е.
1-
, откуда 2r
>1,01 .
Итак, диаметр сферы, вписанной в T , больше 1,01, т.е. в качестве
искомой можно выбрать сферу, вписанную в T .
