Задача 109676
|
|
 |
Условие
Угол, образованный лучами y = x и y = 2x при x ≥ 0, высекает на параболе y = x² + px + q две дуги. Эти дуги спроектированы на ось Ox. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.
Решение
Абсциссы x1 и x2 точек пересечения параболы и прямой y = x удовлетворяют уравнению x² + (p – 1)x + q = 0. По теореме Виета
x1 + x2 = 1 – p. Аналогично получаем, что абсциссы x3 и x4 точек пересечения параболы и прямой y = 2x связаны соотношением x3 + x4 = 2 – p. Если x1 < x2, а
x3 < x4, то проекция левой дуги равна x1 – x3, а правой – x4 – x2 (см. рис.). Разность их равна
(x4 – x2) – (x1 – x3) = (x3 + x4) – (x1 + x2) = (2 – p) – (1 – p) = 1.
