ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109676
Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Угол, образованный лучами  y = x  и  y = 2x  при  x ≥ 0,  высекает на параболе  y = x² + px + q  две дуги. Эти дуги спроектированы на ось Ox. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.


Решение

Абсциссы x1 и x2 точек пересечения параболы и прямой  y = x  удовлетворяют уравнению  x² + (p – 1)x + q = 0.  По теореме Виета   x1 + x2 = 1 – p.  Аналогично получаем, что абсциссы x3 и x4 точек пересечения параболы и прямой  y = 2x  связаны соотношением  x3 + x4 = 2 – p.  Если  x1 < x2,  а
x3 < x4,  то проекция левой дуги равна  x1x3,  а правой –  x4x2  (см. рис.). Разность их равна
(x4x2) – (x1x3) = (x3 + x4) – (x1 + x2) = (2 – p) – (1 – p) = 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 98.5.9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .