ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109681
Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Биссектриса угла ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Сонкин М.

В треугольнике ABC  (AB > BC)  проведены медиана BM и биссектриса BL. Прямая, проходящая через точку M параллельно AB, пересекает BL в точке D, а прямая, проходящая через L параллельно BC, пересекает BM в точке E. Докажите, что прямые ED и BL перпендикулярны.


Решение

Проведём через точку E прямую, параллельную AB. Пусть она пересекает BL и AC в точках P и Q соответственно. По теореме Фалеса
MO : MA = ME : MB = ML : MC,  поэтому  MQ = ML.  Следовательно, MD – средняя линия треугольника PLQ, то есть ED – медиана треугольника PEL. Из параллельности EP и EL сторонам AB и BC соответственно следует равенство углов:  ∠EPL = ∠ABL = ∠LBC = ∠ELP.  Тем самым, треугольник LEP – равнобедренный, и медиана ED является высотой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 98.5.9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .