Задача 109703

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Шахматная раскраска ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Антонов М.

Правильный треугольник разбит на правильные треугольники со стороной 1 линиями, параллельными его сторонам и делящими каждую сторону на n частей (на рисунке  n = 5).

Какое наибольшее число отрезков длины 1 с концами в вершинах этих треугольников можно отметить так, чтобы не нашлось треугольника, все стороны которого состоят из отмеченных отрезков?

Решение

  Общее количество отрезков длины 1 равно  ³/₂ n(n + 1).  Все отрезки, параллельные двум сторонам большого треугольника, не образуют треугольников. Следовательно,  ⅔·³/₂ n(n + 1) = n(n + 1)  отрезков длины 1 отметить можно.
  Докажем, что большее количество отрезков отметить нельзя. Заштрихуем треугольники со стороной 1, как показано на рисунке.

  Эти треугольники содержат все отрезки длины 1, причём каждый отрезок принадлежит ровно одному треугольнику. Для того чтобы не образовался ни один из заштрихованных треугольников, в каждом из них можно отметить не более двух отрезков. Значит, количество выделенных отрезков не превышает ⅔ от их общего числа.

Ответ

n(n + 1)  отрезков.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1999
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	99.5.9.5