ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109704
Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Неравенство Коши ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Храбров А.

Докажите, что при любом натуральном n справедливо неравенство  


Решение

  При n = 1 неравенство обращается в равенство  0 = 0.  При  n > 1  докажем, что сумма дробных частей на каждом промежутке между двумя последовательными квадратами удовлетворяет неравенству  
  Из неравенства между средним арифметическим и средним квадратичным получаем     при 0 ≤ a ≤ m.
  Следовательно,  
  Просуммировав эти неравенства при  a = 0, 1, ..., m – 1  и неравенство     (получаемое делением на 2 обеих частей (2) при  a = m),  приходим к неравенству (1). Суммируя неравенство (1) по всем m от 1 до  n – 1,  получаем  
  Остаётся заметить, что  

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1999
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 99.5.9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .