Задача 109719

Темы:    [ Необычные конструкции ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9,10

Условие

Автор: Черепанов Е.

Пусть M – конечное множество чисел. Известно, что среди любых трех его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит M . Какое наибольшее число элементов может быть в M ?

Решение

Пример множества из 7 элементов: { -3,-2,-1,0,1,2,3} .
Докажем, что при m 8 множество из m чисел A={ a₁,a₂,..,a_m} требуемым свойством не обладает. Не ограничивая общности, можно считать, что a₁>a₂>a₃>.. >a_m и a₄>0 (ясно, что умножение на -1 наше свойство не меняет). Тогда a₁+a₂>a₁+a₃>a₁+a₄>a₁ , т.е. ни одна из сумм a₁+a₂ , a₁+a₃ и a₁+a₄ множеству A не принадлежит. Кроме того, суммы a₂+a₃ и a₂+a₄ не могут одновременно принадлежать A , поскольку a₂+a₃>a₂ , a₂+a₄>a2 и a₂+a₃ a₂+a₄ . Получается, что по крайней мере для одной из троек (a₁,a₂,a₃) и (a₁,a₂,a₄) сумма любых двух ее элементов множеству A не принадлежит.

Ответ

7.00

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	00.5.10.5