|
|
 |
Условие
Пусть 2S – суммарный вес некоторого набора гирек. Назовём натуральное число k средним, если в наборе можно выбрать k гирек, суммарный вес которых равен S. Какое наибольшее количество средних чисел может иметь набор из 100 гирек?
Решение
Заметим, что, если число m является средним, то число 100 – m также является средним. Поэтому если число 1 не является средним, то число 99 также не является средним, и количество средних чисел не больше 97 (число 100 тоже средним не является). Если же число 1 является средним, то вес одной из гирек равен S и, следовательно, только 99 также является средним числом. Значит, количество средних чисел не превосходит 97.
Приведём пример набора из 100 гирек с весами a1, ..., a100, для которого все числа от 2 до 98 (всего 97 чисел) – средние.
Пусть a1 = a2 = 1, an+2 = an + an+1, n = 1, 2, ..., 97, – последовательные числа Фибоначчи и S = a1 + a2 + ... + a98. Выберем a100 = S – a99. Тогда суммарный вес всех гирек равен 2S и, в то же время,
a100 + a99 = a100 + a98 + a97 = a100 + a98 + a96 + a95 = a100 + a98 + a96 + a94 + a93 = ... = a100 + a98 + a96 + a94 + a92 + a90 + ... + a6 + a4 + a2 + a1 = S.
Следовательно, средними являются числа 2, 3, 4, ..., 51. Но тогда средними будут и числа 100 – 2 = 98, 100 – 3 = 97, ..., 100 – 48 = 52, то есть все числа от 2 до 98 – средние.
Ответ
97.
