ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109741
Темы:    [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Монотонность и ограниченность ]
[ Кубические многочлены ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Многочлен  P(x) = x³ + ax² + bx + c  имеет три различных действительных корня, а многочлен P(Q(x)), где  Q(x) = x² + x + 2001,  действительных корней не имеет. Докажите, что  P(2001) > 1/64.


Решение

По условию  P(x) = (x – x1)(x – x2)(x – x3),  следовательно,  P(Q(x)) = (Q(x) – x1)(Q(x) – x2)(Q(x) – x3),  где  Q(x) – xi ≠ 0,  i = 1, 2, 3,  то есть
Di = 1 – 4(2001 – xi) < 0.  Перемножив полученные неравенства  2001 – xi > ¼,  получаем  P(2001) = (2001 – x1)(2001 – x2)(2001 – x3) > 1/64.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2001
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 01.5.10.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .