ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109744
Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Джукич Д.

Найдите все такие натуральные числа n, что для любых двух его взаимно простых делителей a и b число  a + b – 1  также является делителем n.


Решение

  Легко проверить, что числа вида pk, где p – простое, а также число 12 удовлетворяют условию задачи. Покажем, что других чисел, удовлетворяющих условию, не существует.
  Случай нечётного n рассмотрен в 109752. Пусть n чётно и не является степенью двойки; представим его в виде  n = 2mk,  где  m ≥ 1,  а  k > 1  – нечётно.
  Заметим, что  k + 2 – 1 = k + 1  – делитель n.   Поскольку  (k + 1, k) = 1,   k + 1 = 2α,  α > 1.
  Поэтому  2² + k – 1 = k + 3  – тоже делитель n. Заметим, что  k + 3 = (k + 1) + 2 = 2α + 2  не делится на 4. Кроме того,  (k + 3, k) = (3, k) ≤ 3.
  Из этого следует, что  k + 3 ≤ 2·3 = 6,  и k ≤ 3.
  Значит,  n = 2m·3.  Но  m = 1  не подходит;  m ≥ 3  также не подходит, так как в этом случае мы получили бы, что  2³ + 3 – 1 = 10  – также делитель n.


Ответ

n – степень простого числа или  n = 12.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2001
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 01.5.10.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .