ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109746
Темы:    [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Два многочлена  P(x) = x4 + ax³ + bx² + cx + d  и  Q(x) = x² + px + q  принимают отрицательные значения на некотором интервале I длины более 2, а вне I – неотрицательны. Докажите, что найдётся такая точка x0, что  P(x0) < Q(x0).


Решение

  Из условия следует, что  Q(x) = (x – x1)(x – x2)  и  P(x) = (x – x1)(x – x2)(x² + Ax + B),  где  x2x1 > 2,  а трёхчлен  x² + Ax + B  не имеет корней или имеет кратный корень, совпадающий с x1 или x2.
  Предположим, что  P(x) – Q(x) = (x – x1)(x – x2)(x² + Ax + B – 1) ≥ 0  при всех x. Это выполняется только в том случае, когда
 x² + Ax + (B – 1) = (x – x1)(x – x2),  так как в точках x1 и x2 не будет происходить перемена знака многочлена  P(x) – Q(x)  только при чётной кратности корней x1 и x2. Значит,  A = – (x1 + x2),  B – 1 = x1x2.  Поэтому дискриминант трёхчлена  x² + Ax + B,  равный  (x1 + x2)² – 4(x1x2 + 1) = (x1x2)² – 4,  положителен, то есть он имеет два корня. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2001
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 01.5.9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .