Задача 109816

Темы:    [ Уравнения с модулями ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Последовательности функций (прочее) ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Рубанов И.С.

Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение

|x-a₁|+..+|x-a50|=|x-b₁|+..+|x-b50|,
где a₁ , a₂ , a50 , b₁ , b₂ , b50 – различные числа?

Решение

Положим f(x) = |x-a₁|+...+|x-a50|-|x-b₁|- .. -|x-b50| и перепишем исходное уравнение в виде f(x) = 0 .

Пусть c₁ < c₂ < .. < c100 – все числа из множества {a₁, .., a50, b₁, .., b50} , упорядоченные по возрастанию. На каждом из 101 промежутка [-,c₁] , [c₁,c₂] , [c99,c100] , [c100,+) , функция f(x) линейна. Заметим, что на первом и последнем из этих промежутков f(x) = m = (a₁+...+ a50) - (b₁+...+ b50) и f(x) = -m соответственно, при этом m 0 , так как количество корней конечно.

Пойдем по числовой оси слева направо.
Вначале угловой коэффициент функции f(x) равен 0. Всякий раз, когда мы проходим одну из точек c_i , он за счет смены знака при раскрытии соответствующего модуля изменяется на 2 .

Таким образом, он всегда равен четному целому числу и не может поменять знак, не обратившись перед этим в 0.
Значит, угловые коэффициенты на любых двух соседних промежутках либо оба неотрицательны, либо оба неположительны, т.е. функция f(x) на объединении этих промежутков либо неубывающая, либо невозрастающая.

Стало быть, если число ее корней конечно, то на каждом из 50 отрезков [c₁,c₃], .., [c97,c99], [c99,c100] она имеет не более одного корня. Кроме того, на крайних интервалах значения имеют разные знаки, и в каждом корне знак функции меняется. Следовательно, количество корней нечетно и не превышает 49.

Нетрудно проверить, что если роль a_i будут играть числа 1, 4, 5, 8, 97, 100, а роль b_i – числа 2, 3, 6, 7, 94, 95, 98, 99 , то уравнение f(x)=0 будет иметь ровно 49 корней.

Ответ

49.00

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2005
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	05.5.11.1