Задача 109866

Темы:    [ Метод координат на плоскости ] [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Покрытия ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Берзиньш А., Изместьев И.В.

На прямоугольном столе разложено несколько одинаковых квадратных листов бумаги так, что их стороны параллельны краям стола (листы могут перекрываться). Докажите, что можно воткнуть несколько булавок таким образом, что каждый лист будет прикреплен к столу ровно одной булавкой.

Решение

Рассмотрим в плоскости стола различные системы координат, у которых оси параллельны краям стола, а за единицу длины принята длина стороны бумажного квадрата. Выберем какую-нибудь одну из них так, чтобы у вершин каждого из данных квадратов ни одна из координат не была бы целым числом. Отметим теперь точки с целыми координатами, накрытые хотя бы одним из листов. Очевидно, что каждый лист накрывает ровно одну такую точку. Следовательно, достаточно воткнуть булавки во все отмеченные точки.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1995
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	95.4.10.4