Задача 109875
|
|
 |
Условие
Найдите все такие простые числа p, что число p² + 11 имеет ровно шесть различных делителей (включая единицу и само число).
Решение
Заметим, что p² + 11 = (p – 1)(p + 1) + 12. Если p ≥ 5 и простое, то числа p – 1 и p + 1 чётны, и одно из них кратно 3. Поэтому произведение (p – 1)(p + 1) делится на 12, следовательно, p² + 11 также делится на 12, а значит, имеет не менее семи делителей (6 делителей числа 12 и само число p² + 11 > 12). Осталось проверить p = 2 и p = 3. При p = 2 число p² + 11 = 2² + 11 = 15 имеет четыре делителя (1, 3, 5, 15); при p = 3 число p² + 11 = 3² + 11 = 20 имеет шесть делителей (1, 2, 4, 5, 10, 20).
Ответ
p = 3.
