Задача 109882
|
|
 |
Условие
Дана функция f(x) = | 4 - 4|x|| - 2 . Сколько решений имеет уравнение f(f(x)) = x ?
Решение
Пусть x0 – решение уравнения f(f(x)) = x , а y0 = f(x0) .
Тогда и x0 = f(y0) , а потому точка с координатами (x0,y0)
лежит на каждом из графиков y = f(x) и x =f(y) .
Наоборот, если точка (x0,y0) лежит на пересечении этих графиков, то y0 = f(x0) и
x0 = f(x0) , откуда f(f(x0)) = x0 . Тем самым показано, что число решений
уравнения f(f(x)) = x совпадает с числом
точек пересечения графиков y = f(x) и x = f(y) , а их 16 (см. рис.) .
Ответ
16.00
