|
|
 |
Условие
В каждой клетке квадратной таблицы размером n×n клеток (n ≥ 3) записано число 1 или –1. Если взять любые две строки, перемножить числа, стоящие в них друг над другом и сложить n получившихся произведений, то сумма будет равна 0. Докажите, что число n делится на 4.
Решение
Заметим, что если у всех чисел в одном столбце поменять знак, то
свойство таблицы сохранится. То же верно для перестановки двух столбцов. Поэтому можно добиться того, что в первой строке стоят только единицы, и, по свойству таблицы для первой и второй строк, n = 2m. Переставляя столбцы, можно сделать так, что во второй строке слева будут стоять m единиц, а справа – m минус единиц.
Возьмём третью строку таблицы, обозначим через x1 количество единиц в первых m столбцах, через x2 – количество минус единиц в первых m столбцах, через x3 – количество единиц в в последних m столбцах, и через x4 – количество минус единиц в последних m столбцах. Тогда из свойства таблицы для первой и третьей строк, а также для второй и третьей строк получаем: x1 – x2 + x3 – x4 = 0, x1 – x2 – x3 + x4 = 0. Также имеем x1 + x2 = m, x3 + x4 = m. Складывая первое и второе равенства, получаем 2(x1 – x2) = 0. Следовательно, x1 = x2, а значит, и x3 = x4. Отсюда x1 = x2 = x3 = x4 = m/2, то есть n делится на 4.
