Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
На плоскости отмечены все точки с целыми координатами (x,y) такие,
что x2+y2 1010 . Двое играют в игру (ходят по очереди).
Первым ходом первый игрок ставит фишку в какую-то отмеченную точку и
стирает ее. Затем каждым очередным ходом игрок переносит фишку в
какую-то другую отмеченную точку и стирает ее. При этом длины ходов
должны все время увеличиваться; кроме того, запрещено делать ход из
точки в симметричную ей относительно центра. Проигрывает тот, кто не может
сделать ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу, как бы ни
играл его соперник?
Петя и Коля играют в следующую игру: они по очереди изменяют один из коэффициентов a или b квадратного трёхчлена x² + ax + b: Петя на 1, Коля – на 1 или на 3. Коля выигрывает, если после хода одного из игроков получается трёхчлен, имеющий целые корни. Верно ли, что Коля может выиграть при любых начальных целых коэффициентах a и b независимо от игры Пети?
Найдите все натуральные числа, имеющие ровно шесть делителей, сумма которых равна 3500.
|
|
 |
Условие
Найдите все натуральные числа, имеющие ровно шесть делителей, сумма которых равна 3500.
Решение
Если у числа n шесть делителей, то n = p5 (p – простое) или n = p²q, где p и q – различные простые числа.
В первом случае 1 + p + p² + p³ + p4 + p5 = 3500, p(p + p² + p³ + p4) = 3499. Число 3499 не делится на 2, 3, 5 и 7, поэтому p > 10, но в этом случае
p(p + p² + p³ + p4) > 3499. Поэтому это уравнение решений в простых числах не имеет.
Во втором случае 1 + p + p² + q + pq + p²q = 3500, то есть (1 + p + p²)(1 + q) = 53·7·4. Первый множитель нечётен и не кратен 5. (Чтобы убедиться в этом, достаточно это утверждение проверить для соответствующих остатков.) Отсюда, учитывая, что 1 + p + p² > 1, имеем 1 + p + p² = 7. Значит, p = 2, q = 499. Числа 2 и 499 – простые. Искомое число n = 2²·499 = 1996.
Ответ
n = 1996.
