Задача 109910

Темы:    [ Логарифмические неравенства ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Токарев С.И.

Докажите, что если 1<a<b<c , то

log _a(log _a b)+log _b (log _b c)+log _c(log _ca)>0.

Решение

Поскольку log _a b>1 , то log _alog _a b>log _blog _a b , а так как log _c a<1 , то log _clog _c a>log _blog _c a . Отсюда log _alog _a b+log _blog _b c+log _clog _c a> log _blog _a b+log _blog _b c+log _blog _c a= log _b(log _a b· log _b c·log _c a)=log _b 1=0 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1997
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	97.4.11.6