Задача 109920
|
|
 |
Условие
Докажите, что если
для некоторых a , b , c , x , y , z , то x=y=z или a=b=c .
Решение
Без ограничения общности можем считать, что a b
c .
Пусть не все числа x , y , z равны. Тогда среди них есть либо строго
наибольшее, либо строго наименьшее – скажем, x .
Заметим, что если β>α , то функция
ϕ(t)=
-
=
– монотонно
убывает.
Перепишем первое из данных в условии равенств так:
Если x – строго наибольшее, то каждая скобка слева не больше соответствующей скобки справа, причем равенства одновременно достигаются только при a=b=c . Аналогично, если x – строго наименьшее, то оба неравенства меняют знак, причем оба становятся равенствами опять же только при a=b=c .
Заметим, что мы доказали требуемое, воспользовавшись только одним из данных равенств. Правда, то, каким равенством из данных мы пользуемся, зависит от соотношения между переменными.
