Задача 109920

Темы:    [ Монотонность и ограниченность ] [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Иррациональные уравнения ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Сонкин М.

Докажите, что если

++=++= = ++
для некоторых a , b , c , x , y , z , то x=y=z или a=b=c .

Решение

Без ограничения общности можем считать, что a b c . Пусть не все числа x , y , z равны. Тогда среди них есть либо строго наибольшее, либо строго наименьшее – скажем, x . Заметим, что если β>α , то функция ϕ(t)=-= – монотонно убывает. Перепишем первое из данных в условии равенств так:

(-)+(-)= =(-)+(-).
Если x – строго наибольшее, то каждая скобка слева не больше соответствующей скобки справа, причем равенства одновременно достигаются только при a=b=c . Аналогично, если x – строго наименьшее, то оба неравенства меняют знак, причем оба становятся равенствами опять же только при a=b=c .
Заметим, что мы доказали требуемое, воспользовавшись только одним из данных равенств. Правда, то, каким равенством из данных мы пользуемся, зависит от соотношения между переменными.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1997
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	97.4.10.8