ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109933
Темы:    [ Деление с остатком ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все такие пары простых чисел p и q, что  p³ – q5 = (p + q)².


Решение

  Пусть ни одно из чисел p, q не делится на 3. Если остатки от деления p и q на 3 совпадают, то левая часть делится на 3, а правая – нет; если эти остатки не совпадают, то правая часть делится на 3, а левая – нет.
  Пусть  p = 3.  Из равенства  27 – q5 = (3 + q)² > 0  следует, что  q5 < 27.  Это невозможно.
  Пусть, наконец,  q = 3.  Тогда  p³ – 243 = (p + 3)²,   p(p² – p – 6) = 252.  Значит,  p – простой делитель числа 252, то есть 2, 3 или 7. Проверка оставляет только  p = 7.


Ответ

p = 7,  q = 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1997
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 97.4.8.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .