|
|
 |
Условие
На столе лежали две колоды, по 36 карт в каждой. Первую колоду перетасовали и положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды подсчитали количество карт между ней и такой же картой второй колоды (то есть сколько карт между семёрками червей, между дамами пик, и т.д.). Чему равна сумма 36 полученных чисел?
Решение 1
Занумеруем карты сверху вниз по порядку. В верхней колоде номера от 1 до 36, в нижней – от 37 до 72. Пусть i-я карта верхней колоды совпадает с ki-й картой нижней колоды (i = 1, 2, ..., 36). Между ними лежит ki – i – 1 карта, поэтому искомая сумма S = (k1 – 1 – 1) + (k2 – 2 – 1) + ... + (k36 – 36 – 1). Переставив слагаемые k1, k2, ..., k36 по возрастанию, мы сумму не изменим. Значит, S = (37 – 1 – 1) + (38 – 2 – 1) + ... + (72 – 36 – 1) = 36·35 = 1260.
Решение 2
Рассмотрим самую нижнюю карту нижней колоды и такую же карту верхней колоды, пусть, например, это короли треф. Предположим, что в верхней колоде король треф лежит на семёрке бубен. Заметим, что если мы в верхней колоде поменяем местами короля треф и семёрку бубен, то количество карт, лежащих между королями треф, на одну уменьшится, а количество карт, лежащих между семёрками бубен, на одну увеличится. Значит, искомая сумма от такой перестановки не изменится.
Рассуждая аналогично, можно постепенно менять местами короля треф из верхней колоды с картами, на которых он лежит, до тех пор, пока король треф не станет самой нижней картой в верхней колоде. Далее рассмотрим вторую снизу карту нижней колоды и повторим описанную процедуру с такой же картой из верхней колоды, и так далее.
Так, постепенно меняя местами соседние карты верхней колоды, можно, не изменяя искомой суммы, расположить карты верхней колоды в том же порядке, что и в нижней. Тогда между каждыми двумя одинаковыми картами будет лежать ровно 35 карт, поэтому искомая сумма равна 35·36 = 1260.
Решение 3
Рассмотрим по отдельности сколько раз была подсчитана каждая карта в верхней и в нижней колоде. В верхней колоде самая верхняя карта не была подсчитана ни разу, так как она не находится между какими-либо картами. Вторая сверху карта была подсчитана один раз, так находится между одной парой одинаковых карт: верхней картой верхней колоды и такой же картой нижней колоды. Следующая карта сверху подсчитана два раза, и так далее, то есть n-я сверху карта верхней колоды была подсчитана n – 1 раз, так как находится между n – 1 парой одинаковых карт.
Аналогичные рассуждения справедливы и для карт нижней колоды, если "двигаться" снизу вверх: самая нижняя карта не подсчитана ни разу, лежащая на ней – один раз, ..., k-я карта снизу подсчитана k – 1 раз.
Таким образом, искомая сумма равна (0 + 1 + 2 + ... + 35)·2 = 1260.
Ответ
1260.
Замечания
8 баллов
