ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109939
Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из бесконечной шахматной доски вырезали многоугольник со сторонами, идущими по сторонам клеток. Отрезок периметра многоугольника называется черным, если примыкающая к нему изнутри многоугольника клетка – черная, соответственно белым, если клетка белая. Пусть A – количество черных отрезков на периметре, B – количество белых, и пусть многоугольник состоит из a черных и b белых клеток. Докажите, что A-B=4(a-b) .

Решение

Посчитаем стороны всех клеток, составляющих многоугольник, следующим образом: из количества сторон черных клеток вычтем количество сторон белых клеток. Эта величина равна 4(a-b) , так как у каждой клетки четыре стороны, в то же время каждый отрезок, лежащий внутри многоугольника, был посчитан один раз со знаком + и один раз – со знаком - . То есть полученная величина равна сумме отрезков периметра с соответствующими знаками: + для черных и - для белых, откуда и получаем требуемое равенство. Задачу можно решать по индукции, при доказательстве индуктивного перехода отбрасывая от многоугольника одну граничную клетку. При этом многоугольник может развалиться на несколько, и удобнее доказывать формулу не для одного многоугольника, а для совокупности. Число вариантов расположения отбрасываемой клетки может быть доведено до двух:

,

(с тремя сторонами, выходящими на периметр, и с двумя).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 98.4.11.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .