|
|
 |
Условие
Из бесконечной шахматной доски вырезали многоугольник со сторонами,
идущими по сторонам клеток. Отрезок периметра многоугольника
называется черным, если примыкающая к нему изнутри многоугольника
клетка – черная, соответственно белым, если клетка белая.
Пусть A – количество черных отрезков на периметре, B –
количество белых, и пусть многоугольник состоит из a черных
и b белых клеток. Докажите, что A-B=4(a-b) .
Решение
Посчитаем стороны всех клеток, составляющих многоугольник,
следующим образом: из количества сторон черных клеток вычтем
количество сторон белых клеток. Эта величина равна 4(a-b) ,
так как у каждой клетки четыре стороны, в то же время каждый
отрезок, лежащий внутри многоугольника, был посчитан один
раз со знаком + и один раз – со знаком - .
То есть полученная величина равна сумме отрезков периметра
с соответствующими знаками: + для черных и -
для белых, откуда и получаем требуемое равенство.
Задачу можно решать по индукции, при доказательстве индуктивного
перехода отбрасывая от многоугольника одну граничную клетку.
При этом многоугольник может развалиться на несколько, и
удобнее доказывать формулу не для одного многоугольника,
а для совокупности. Число вариантов расположения отбрасываемой
клетки может быть доведено до двух:
,
(с тремя сторонами, выходящими на периметр, и с двумя).
