Задача 109942
|
|
 |
Условие
Пусть f(x)=x2+ax+b cos x . Найдите все значения параметров
a и b , при которых уравнения f(x)=0 и f(f(x))=0
имеют совпадающие непустые множества действительных корней.
Решение
Пусть x0 – общий корень, тогда f(x0)=0 и
f(f(x0))=0 . Подставив первое равенство во второе,
получаем f(0)=0 , т.е. b=0 . Итак, f(x)=x2+ax ,
и уравнение f(x)=0 имеет корни 0 и -a .
Далее, f(f(x))=0
Условие задачи выполнено, если каждый корень уравнения f(x)=-a равен 0 или -a .
Поэтому случаи a(0,4) , a=0 подходят, так как уравнение f(x)=-a либо не имеет корней,
либо имеет корень 0. При остальных значениях a уравнение f(x)=-a имеет хотя бы один корень,
не совпадающий с 0 и -a .
Ответ
b=0, 0 a<4.
