Задача 109942

Темы:    [ Процессы и операции ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Тригонометрические уравнения ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Пусть f(x)=x²+ax+b cos x . Найдите все значения параметров a и b , при которых уравнения f(x)=0 и f(f(x))=0 имеют совпадающие непустые множества действительных корней.

Решение

Пусть x₀ – общий корень, тогда f(x₀)=0 и f(f(x₀))=0 . Подставив первое равенство во второе, получаем f(0)=0 , т.е. b=0 . Итак, f(x)=x²+ax , и уравнение f(x)=0 имеет корни 0 и -a .
Далее, f(f(x))=0
Условие задачи выполнено, если каждый корень уравнения f(x)=-a равен 0 или -a . Поэтому случаи a(0,4) , a=0 подходят, так как уравнение f(x)=-a либо не имеет корней, либо имеет корень 0. При остальных значениях a уравнение f(x)=-a имеет хотя бы один корень, не совпадающий с 0 и -a .

Ответ

b=0, 0 a<4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1998
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	98.4.10.1