|
|
 |
Условие
Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?
Решение
Введём на листе прямоугольную систему координат с осями, параллельными линиям сетки, и началом координат в одном из узлов. Назовём чётностью узла чётность суммы его координат. Будем считать одну из ножек циркуля первой, а другую – второй и посмотрим, как меняется чётность узлов, в которые попадает вторая ножка при выполнении шагов. Обозначим вектор, соединяющий первую ножку со второй после i-го шага, через (xi, yi), i = 1, 2, ..., тогда – квадрату раствора циркуля – целому числу. Рассмотрим три возможных случая.
1) d² – нечётно. Тогда во всех парах (xi, yi) одно из чисел чётно, другое нечётно, поэтому xi + yi нечётно, и на i-м шаге чётность основания передвигаемой ножки изменяется на xi + yi – xi–1 – yi–1 = 2ki, то есть сохраняется. Чётность неподвижной ножки, очевидно, тоже сохраняется. Поскольку изначально чётности ножек были различны (в силу нечётности числа d ≡ x0 + y0 (mod 2)), поменяться местами ножки не смогут.
2) d² = 4n + 2. Тогда все числа xi, yi нечётны, и координаты оснований ножек изменяются на i-м шаге на xi – xi–1 = 2ki или yi – yi–1 = 2li, сохраняя свою чётность.
И снова, поскольку изначально чётности разных ножек по каждой из координат были различны (в силу нечётности x0 и y0), ножки циркуля не смогут поменяться местами.
в) d² = 4n. В этом случае все числа xi, yi чётны.
Рассмотрим вместо исходной новую сетку, у которой ячейки – квадраты со стороной в два раза больше, причём ножки циркуля исходно располагаются в её узлах. Тогда шаги циркуля будут выполняться по узлам новой сетки, а для неё выполнен один из случаев 1), 2) или 3). При этом квадрат длины в новой сетке уменьшился в 4 раза (из-за выбора новой единицы измерения), поэтому случай 3) не может продолжаться до бесконечности.
Ответ
Нельзя.Замечания
Можно было бы ограничиться рассмотрением случаев нечётного и чётного значения d², заметив, что во втором случае ножки циркуля бегают по узлам сетки, стороной клетки в которой является диагональ исходной сетки.
