ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109958
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Четность и нечетность ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие n-значные числа M и N, что все цифры M – чётные, все цифры N – нечётные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи M или N хотя бы один раз и M делится на N?


Решение

Пусть  M = a1...an  и  N = b1...bn  – числа, удовлетворяющие условию. Тогда  M = dN,  где d = 2, 4, 6 или 8 (так как M чётно, а N нечётно). Пусть  bk = 9  и
S = bk...bn.  Тогда из неравенств  180...0 < 2S < 199...9,  360...0 < 4S < 399...9,  540...0 < 6S < 39...9,  720...0 < 8S < 799...9  следует, что в (k–1)-й разряд переносится нечётная цифра p, значит, цифра ak–1 – последняя цифра суммы  dbk–1 + p  нечётна. Противоречие.


Ответ

Не существуют.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 98.4.8.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .