Задача 110004

Темы:    [ Системы точек ] [ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ] [ Объединение, пересечение и разность множеств ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Авторы: Дольников В.Л., Игонин С.

В пространстве даны n точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы n-3 точки в пространстве ни взять, найдется плоскость из проведенных, не содержащая ни одной из этих n-3 точек.

Решение

Обозначим через M исходное множество из n точек. Пусть A – произвольное подмножество из n-3 точек. Возьмем точку x из множества M , не принадлежащую A . Через x и остальные точки множества M проведем n-1 прямую и возьмем прямую, не пересекающую A . Через эту прямую и оставшиеся n-2 точки множества M проведем n-2 плоскости. Одна из плоскостей не пересекает A , так как плоскостей n-2 , а множество A состоит из n-3 элементов. Эта плоскость и является искомой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1999
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	99.4.10.3