|
|
 |
Условие
Высота и радиус основания цилиндра равны 1. Каким наименьшим числом шаров радиуса 1
можно целиком покрыть этот цилиндр?
Решение
Впишем в цилиндр правильный треугольник с вершинами в серединах образующих и
рассмотрим три единичных шара с центрами в серединах его сторон. Возьмем основание
цилиндра. С ним наши шары пересекаются по трем кругам радиуса /2 с центрами в
серединах сторон вписанного правильного треугольника. Легко проверить, что эти три
круга целиком покрывают основание.
Значит, цилиндр целиком покрыт тремя цилиндрами
высоты 1, построенными на этих кругах, а, следовательно, и нашими шарами, содержащими
эти цилиндры.
Чтобы показать, что двумя шарами покрыть цилиндр не удастся, достаточно заметить, что
если центр шара не совпадает с центром основания, то круг, по которому шар
пересекается с плоскостью основания, пересекается с границей основания по дуге,
меньшей 180o , а двумя такими дугами окружность не покрыть.
Если же центры
двух шаров совпадают с центрами оснований, то непокрытой остается боковая поверхность
цилиндра.
Ответ
Тремя.
