Задача 110025

Темы:    [ Цилиндр ] [ Покрытия ] [ Шар и его части ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Рубанов И.С.

Высота и радиус основания цилиндра равны 1. Каким наименьшим числом шаров радиуса 1 можно целиком покрыть этот цилиндр?

Решение

Впишем в цилиндр правильный треугольник с вершинами в серединах образующих и рассмотрим три единичных шара с центрами в серединах его сторон. Возьмем основание цилиндра. С ним наши шары пересекаются по трем кругам радиуса /2 с центрами в серединах сторон вписанного правильного треугольника. Легко проверить, что эти три круга целиком покрывают основание.
Значит, цилиндр целиком покрыт тремя цилиндрами высоты 1, построенными на этих кругах, а, следовательно, и нашими шарами, содержащими эти цилиндры.

Чтобы показать, что двумя шарами покрыть цилиндр не удастся, достаточно заметить, что если центр шара не совпадает с центром основания, то круг, по которому шар пересекается с плоскостью основания, пересекается с границей основания по дуге, меньшей 180^o , а двумя такими дугами окружность не покрыть.
Если же центры двух шаров совпадают с центрами оснований, то непокрытой остается боковая поверхность цилиндра.

Ответ

Тремя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	00.4.11.2