Задача 110026

Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Тухвебер С.

Последовательность a1, a2,..,a2000 действительных чисел такова, что для любого натурального n , 1 n2000 , выполняется равенство

a13+a23+..+a_n3=(a1+a2+..+a_n)2.
Докажите, что все члены этой последовательности – целые числа.

Решение

Докажем индукцией по n , что при любом n сумма S_n=a1+...+ a_n представима в виде b_n(b_n+1) , где b_n – целое. База индукции: a13=a12 S1=a1=0 или 1, т.е. S1=·0·1 или S1=·1·2 . Индуктивный переход: S_n+12=(a1+...+ a_n+a_n+1)2=(S_n+a_n+1)2= S_n2+2S_na_n+1+a_n+12 , с другой стороны (a1+...+ a_n+1)2=a13+...+ a_n3+a_n+13=(a1+...+ a_n)2+a_n+13= S_n2+a_n+13 . Отсюда 2S_na_n+1+a_n+12=a_n+13 , т.е. либо a_n+1=0 и тогда S_n+1=S_n=b_n(b_n+1) , либо 2S_n+ a_n+1=a_n+12 b_n(b_n+1)+a_n+1-a_n+12=0 , т.е. a_n+1=b_n+1 или a_n+1=-b_n . В этих случаях S_n+1=b_n(b_n+1)+b_n+1=(b_n+1)(b_n+2) или S_n+1=b_n(b_n+1)-b_n =(b_n-1)b_n . Итак, при каждом n сумма S_n – целая, что равносильно условию задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	00.4.11.3