Задача 110027
|
|
 |
Условие
Для неотрицательных чисел x и y, не превосходящих 1, докажите, что
Решение
Возведём доказываемое неравенство в квадрат:
Сначала покажем, что
Действительно, после приведения к общему знаменателю и раскрытия скобок имеем
2(1 + x² + y² + x²y²) – (1 + y² + xy + xy³) – (1 + x² + xy + x³y) = (1 – xy)(x – y)² ≥ 0.
Согласно неравенству Коши
Для завершения доказательства осталось сложить полученные неравенства.
