Задача 110041

Темы:    [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Покрытия ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

Условие

Автор: Берлов С.Л.

На прямой имеется 2n+1 отрезок. Любой отрезок пересекается по крайней мере с n другими. Докажите, что существует отрезок, пересекающийся со всеми остальными.

Решение

Пронумеруем все правые концы отрезков слева направо, а затем также слева направо – все левые концы. Рассмотрим все отрезки, у которых правый конец имеет номер больше n . Из всех таких отрезков выберем тот, у которого левый конец имеет наименьший номер. Полученный отрезок и будет искомым. Действительно, если есть отрезок правее его, то он не пересекается с отрезками, имеющими правые концы с номерами 1,2,..,n+1 , а если есть левее – то с отрезками, имеющими правые концы с номерами n+1,n+2,..,2n+1 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
задача
Номер	00.4.9.3