ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110041
Темы:    [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Покрытия ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На прямой имеется 2n+1 отрезок. Любой отрезок пересекается по крайней мере с n другими. Докажите, что существует отрезок, пересекающийся со всеми остальными.

Решение

Пронумеруем все правые концы отрезков слева направо, а затем также слева направо – все левые концы. Рассмотрим все отрезки, у которых правый конец имеет номер больше n . Из всех таких отрезков выберем тот, у которого левый конец имеет наименьший номер. Полученный отрезок и будет искомым. Действительно, если есть отрезок правее его, то он не пересекается с отрезками, имеющими правые концы с номерами 1,2,..,n+1 , а если есть левее – то с отрезками, имеющими правые концы с номерами n+1,n+2,..,2n+1 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2000
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 00.4.9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .