Задача 110062

Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Произвольные многоугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Длины сторон многоугольника равны  a₁, a₂, ..., a_n.  Квадратный трёхчлен  f(x) таков, что  f(a₁) = f(a₂ + ... + a_n).
Докажите, что если A – сумма длин нескольких сторон многоугольника, B – сумма длин остальных его сторон, то  f(A) = f(B).

Решение

f(a) = f(b)  ⇔  a = b,  либо a и b расположены на числовой оси симметрично относительно абсциссы x₀ вершины параболы  y = f(x),  то есть при
a + b = 2x₀.  Но для многоугольника  a₁ < a₂ + ... + a_n,  поэтому  a₁ + a₂ + ... + a_n = 2x₀.  Тогда  A + B = 2x₀,  значит,  f(A) = f(B).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	01.4.10.1