Задача 110138
|
|
 |
Условие
Докажите, что выпуклый многоугольник может быть разрезан непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники не более, чем одним способом.Решение
Пусть дан выпуклый n -угольник. Утверждение верно при n=3 . Пусть nБудем называть триангуляцией разбиение n -угольника непересекающимися диагоналями на треугольники; остроугольной триангуляцией назовем разбиение n -угольника непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники. Треугольник из триангуляции назовем крайним, если две из его сторон являются сторонами n -угольника.
Нам понадобятся следующие утверждения:
(i) В любой триангуляции найдутся по меньшей мере два крайних треугольника.
Действительно, сумма углов всех треугольников из триангуляции равна сумме углов n -угольника, т.е. равна (n-2)π . Поскольку сумма углов треугольника равна π , количество треугольников в триангуляции равно n-2 . Каждая из n сторон многоугольника является стороной одного из n-2 треугольников, причем у одного треугольника не более двух сторон являются сторонами n -угольника. Отсюда легко следует (i).
(ii) У выпуклого n -угольника не более трех острых углов.
Действительно, предположив противное, получаем, что у n -угольника найдутся хотя бы 4 тупых внешних угла, сумма которых больше, чем 4·
Перейдем к решению задачи.
Предположим, что нашлись две различные остроугольные триангуляции Δ 1 , Δ 2 выпуклого n -угольника. Обозначим через A множество всех острых углов n -угольника.
Рассмотрим крайний треугольник T триангуляции Δ 1 . Один из его углов является углом n -угольника. А поскольку T остроугольный, этот угол является углом из множества A . Так как найдутся два крайних треугольника в триангуляции Δ 1 (согласно (i)), то два угла из множества A являются углами крайних треугольников триангуляции Δ 1 . То же справедливо и для триангуляции Δ 2 .
Согласно (ii), в множестве A содержится не более трех углов. Следовательно, хотя бы один угол из множества A одновременно является углом крайнего треугольника T1 триангуляции Δ 1 и крайнего треугольника T2 триангуляции Δ 2 . Это означает, что треугольники T1 и T2 совпадают, т.е. что в Δ 1 и Δ 2 имеется общий крайний треугольник. Отрезав его, перейдем к исходной задаче для выпуклого ( n-1 )-угольника. Продолжая процесс отрезания крайних треугольников, получаем, что Δ 1 и Δ 2 состоят из одинаковых наборов треугольников.
