Задача 110752

Темы:    [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

В остроугольном треугольнике отметили отличные от вершин точки пересечения описанной окружности с высотами, проведенными из двух вершин, и биссектрисой, проведенной из третьей вершины, после чего сам треугольник стерли. Восстановите его.

Решение

Пусть биссектриса угла C пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке C₀ , а высоты, проведенные из вершин A , B – в точках A₁ , B₁ . Так как A₁AC= B₁BC=90^o- C , точка C является серединой дуги A₁B₁ , не содержащей C₀ . Далее, прямая OC₀ является серединным перпендикуляром к AB , и значит, параллельна высоте, проведенной из C . Проведя эту высоту, найдем вторую точку C₁ ее пересечения с окружностью и затем найдем точки A , B , как середины дуг B₁C₁ и A₁C₁ (рис.10.1).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2007
Класс
Класс	10
задача
Номер	101