ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110784
Темы:    [ Экстремальные свойства (прочее) ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Периметр треугольника ]
[ Наибольшая или наименьшая длина ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Впишите в данный полукруг правильный треугольник наибольшего периметра.


Решение

  Очевидно, вписать треугольник в полукруг можно двумя способами: либо две вершины треугольника лежат на дуге, а третья на диаметре полукруга, либо, наоборот, две вершины на диаметре, а третья на дуге. Рассмотрим первый случай. Пусть вершины A, B лежат на дуге. Тогда серединный перпендикуляр к AB проходит через центр полукруга. Следовательно, третья вершина совпадает с центром и сторона треугольника равна радиусу полукруга (рис. слева).

           
  Во втором случае высота треугольника не превосходит радиуса полукруга, причём в случае, изображённом на рис. справа, равенство достигается. Следовательно, именно этот треугольник и будет искомым.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2006
Класс
Класс 8
задача
Номер 81

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .