ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110792
Темы:    [ Признаки подобия ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Преобразования подобия (прочее) ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Треугольники ABC и A1B1C1 подобны и по-разному ориентированы. На отрезке AA1 взята такая точка A', что  AA' : A1A' = BC : B1C1.  Аналогично строим B' и C'. Докажите, что A', B' и C' лежат на одной прямой.


Решение

Подобие, переводящее ABC в A1B1C1, можно представить как композицию симметрии относительно прямой l и гомотетии с центром в некоторой точке, лежащей на l, и коэффициентом k, равным отношению соответствующих сторон треугольников. Очевидно, что отрезки AA1, BB1, CC1 делятся l в отношении, равном k, то есть точки A', B', C' лежат на l.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2006
Класс
Класс 9
задача
Номер 93

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .