Задача 110807
|
|
 |
Условие
На плоскости даны точки A1 , A2 , An и точки B1 ,
B2 , Bn . Докажите, что точки Bi можно
перенумеровать так, что для всех i j
угол между векторами
и
– острый или прямой.
Решение
Выберем на плоскости начало координат O и рассмотрим сумму
S=
.
Выберем такую нумерацию точек Bi , что соответствующая сумма S
максимальна. Рассмотрим теперь нумерацию точек B , в которой Bi и Bj
обозначены Bj и Bi и ее сумму S' . По предположению максимальности
S
S' , но
Преобразуя, получим
Итак, в нумерации с максимальным S неравенство (*) выполняется для любых i и j . А это равносильно условию задачи.
