Задача 110807

Темы:    [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Метод усреднения ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Условие

На плоскости даны точки A₁ , A₂ , A_n и точки B₁ , B₂ , B_n . Докажите, что точки B_i можно перенумеровать так, что для всех i j угол между векторами и – острый или прямой.

Решение

Выберем на плоскости начало координат O и рассмотрим сумму S= . Выберем такую нумерацию точек B_i , что соответствующая сумма S максимальна. Рассмотрим теперь нумерацию точек B , в которой B_i и B_j обозначены B_j и B_i и ее сумму S' . По предположению максимальности S S' , но

S-S'=· + · - · - · 0.
Преобразуя, получим
(-)· (-)= A_jA_i· 0. (*)
Итак, в нумерации с максимальным S неравенство (*) выполняется для любых i и j . А это равносильно условию задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2003
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	03.4.11.4