Задача 110924

Темы:    [ Площадь трапеции ] [ Экстремальные свойства (прочее) ] [ Неравенства с площадями ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

На рисунке изображена фигура ABCD . Стороны AB , CD и AD этой фигуры– отрезки (причём AB||CD и AD CD ); BC – дуга окружности, причём любая касательная к этой дуге отсекает от фигуры трапецию или прямоугольник. Объясните, как провести касательную к дуге BC , чтобы отсекаемая фигура имела наибольшую площадь.

Решение

Воспользуемся формулой площади трапцеии – площадь равна произведению средней линии на высоту. В нашем случае боковыми сторонами трапеции будут отрезок AD и касательная MN , а основаниями трапеции – отрезки (Эти отрезки на чертеже расположены вертикально, а не горизонтально, что стилистически менее привычно для названия "основание трапеции". Тем не менее ничто не мешает формально рассмотреть отрезки AM и DN качестве оснований трапеции.) AM и DN .

Очевидно, что высота трапеции (расстояние между основаниями, равное, например, перпендикулярному основаниям отрезку AD ) не зависит от выбора положения касательной. А вот среднюю линию можно менять. Проведём серединный перпендикуляр к AD . Обозначим точки его пересечения с AD и c дугой BC через K и L соответственно. Заметим, что средняя линия получаемых трапеций всегда будет содержаться в отрезке KL .

Значит, площадь максимальна, если средняя линия совпадет с KL . Поэтому следует провести касательную через точку L.

Ответ

Касательную к дуге BC надо провести через точку пересечения этой дуги с серединным перпендикуляром к отрезку AD .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Название	конкурс по математике
Год	2007
задача
Номер	6