|
|
 |
Условие
Кольцевая дорога поделена столбами на километровые участки, и известно, что количество столбов чётно. Один из столбов покрашен в жёлтый цвет, другой – в синий, а остальные – в белый. Назовем расстоянием между столбами длину кратчайшей из двух соединяющих их дуг. Найдите расстояние от синего столба до жёлтого, если сумма растояний от синего столба до белых равна 2008 км.
Решение
Пусть на кольцевой дороге – 2n столбов. Вычислим сумму расстояний от синего столба до всех остальных: 2(1 + 2 + ... + (n – 1)) + n = n(n – 1) + n = n². Следовательно, n² > 2008. Так как расстояние от синего столба до жёлтого не превосходит n, то n²– n ≤ 2008, то есть n(n – 1) ≤ 2008. Заметим, что 44² < 44·45 < 2008 < 45² < 45·46. Поэтому единственное натуральное число, удовлетворяющее обоим неравенствам, это n = 45. Тогда n² = 2025, а расстояние от синего столба до жёлтого равно 2025 – 2008 = 17 км.
Ответ
17 км.
