|
|
 |
Условие
Станок выпускает детали двух типов. На ленте его конвейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер движется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а подготовленная кладётся в её конец. Через некоторое число минут после включения конвейера может случиться так, что расположение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найдите а) наименьшее такое число, б) все такие числа.
Решение
Пусть через t минут на ленте лежат m(t) деталей типа A и k(t) деталей типа B. Так как m(t) и k(t) имеют разную чётность, то |m(t) – k(t)| может принимать только значения 1, 3, 5, ... Так как каждую минуту добавляется деталь того типа, которого на ленте меньше, а убирается произвольная деталь, то |m(t) –k(t)| либо не изменяется, либо уменьшается. Так как по
условию исходное расположение повторяется через некоторое число n минут (а значит, и через >2n, 3n и т.д.), то получаем, что величина |m(t) – k(t)| не изменяется при всехt.
Допустим, что |m(t) –k(t)| ≥ 3 . Так как |m(t) –k(t)|
не изменяется, а m(t) и k(t) могут меняться только на 1, то m(t) и k(t) также не изменяются. Тогда добавляется всегда деталь одного и того же типа и при этом деталь того же типа
всегда снимается. Таким образом, исходно на ленте все детали одного типа и деталь того же типа добавляется. Но это противоречит правилу подготовки следующей детали. Следовательно, |m(t) –k(t)| = 1 при всех t.
Пусть a1, ..., a 75, a76, a77, ... – типы деталей (A или B), которые стояли исходно на конвейере и добавлялись в последующие моменты. Мы показали, что при любом i среди ai+1, ..., ai+75 38 раз встречается A и 37 раз встречается B и тогда ai+76 = B, либо все наоборот. В любом случае при каждом i среди ai+1, ..., ai+76 A и B встречаются по 38 раз.
Так как среди ai, ..., ai+75 A и B встречаются по 38 раз и среди ai+1, ..., ai+76 A и B встречаются по 38 раз, то ai+76 = ai (при каждом i). Таким образом 76 – период последовательности a1, a2, ...
Пусть через n минут ситуация на конвейере впервые повторилась. Тогда n – период последовательности a1, a2, ... Обратно, если q – период этой последовательности, то через q минут ситуация на конвейере повторяется. Следовательно, n – минимальный период последовательности a1, a2, ...
Минимальный период является делителем любого периода. Следовательно, 76 делится на n. Так как на любом отрезке длины 76 детали A и B встречаются одинаковое число раз, то это же верно и для периода длины n. Отсюда следует, что n чётно. Остались варианты n = 2, 4, 38, 76.
Пусть n = 2k и 76 кратно n. Построим бесконечную последовательность, в которой сначала k раз стоит A, затем k раз стоит B и затем все повторяется с периодом 2k. Эта последовательность будет порождаться в нашей задаче, если в качестве исходного расположения деталей на конвейере взять первые 75 элементов последовательности, причем впервые исходная ситуация повторится ровно через 2k минут. Таким образом, все значения n = 2, 4, 38, 76 могут реализоваться.
Ответ
а) 2; б) 2, 4, 38, 76.
