ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111354
Темы:    [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ]
[ Треугольник (построения) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана прямая и две точки A и B, лежащие по одну сторону от этой прямой на равном расстоянии от неё.
Как с помощью циркуля и линейки найти на прямой такую точку C, что произведение  AC·BC  будет наименьшим?


Решение

  Площадь треугольника ACB не зависит от C и равна  ½ AC·BC sin ∠ACB.  Поэтому наименьшему произведению  AC·BC  соответствует наибольший синус угла ACB.
  Построим окружность с диаметром AB. Если она пересекает нашу прямую l в двух точках P и Q, то эти точки – искомые (sin ∠APB = sin ∠AQB = 1).  В противном случае искомая точка C – пересечение l с серединным перпендикуляром к отрезку AB (из этой точки отрезок AB виден под наибольшим нетупым углом).

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 29
Дата 2007/2008
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .