|
|
 |
Условие
Квадрат со стороной 1 см разрезан на три выпуклых многоугольника. Может ли случиться, что диаметр каждого из них не превосходит
а) 1 см; б) 1,01 см; в) 1,001 см?
Решение
а) В один многоугольник попадут две вершины квадрата, скажем A и B. Остальные точки отрезка AD удалены от B на расстояние больше 1, поэтому они находятся вне этого многоугольника, следовательно, A лежит на границе двух многоугольников (первого и второго). Аналогично B лежит на границе первого и третьего многоугольников (B не может принадлежать второму). Но тогда середина K стороны CD не может принадлежать ни одному из многоугольников. Противоречие.
б) Разобьём квадрат на прямоугольник 1×⅛ и два прямоугольника ½×⅞ . Их диагонали (диаметры) равны и меньше 1,01:
в) Предположим нам удалось разрезать квадрат на три многоугольника M1, M2, M3 нужных диаметров. Пусть вершины A и B принадлежат M1. Отложим на стороне AD отрезок AG = 0,05, а на стороне BC – отрезок BH = 0,1. Точки G и H не могут принадлежать M1, поскольку AH > BG > 1,001. Пусть G принадлежит M2. Тогда H принадлежит M3 (HG = BG > 1,001), а середина K стороны CD не может принадлежать ни одному из многоугольников: AK > GK > HK > 1,001. Противоречие.
Ответ
а), в) Не может; б) может.
Замечания
Можно доказать, что пример в б) – наилучший (то есть меньшего диаметра чем добиться нельзя). Точнее, пусть A и B принадлежат M1. Если C и D принадлежат M2, то
Это следует из рассмотрения вершин трёх горизонтальных прямоугольников ⅓×1, на которые можно разрезать квадрат. Если же C принадлежит M2, а D – M3, то
(это следует из рассмотрения вершин указанных в б) прямоугольников 1×⅛ и ½×⅞).
