ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111356
Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Квадрат со стороной 1 см разрезан на три выпуклых многоугольника. Может ли случиться, что диаметр каждого из них не превосходит
  а) 1 см;   б) 1,01 см;   в) 1,001 см?


Решение

  а) В один многоугольник попадут две вершины квадрата, скажем A и B. Остальные точки отрезка AD удалены от B на расстояние больше 1, поэтому они находятся вне этого многоугольника, следовательно, A лежит на границе двух многоугольников (первого и второго). Аналогично B лежит на границе первого и третьего многоугольников (B не может принадлежать второму). Но тогда середина K стороны CD не может принадлежать ни одному из многоугольников. Противоречие.

  б) Разобьём квадрат на прямоугольник  1×⅛  и два прямоугольника  ½×⅞ . Их диагонали (диаметры) равны и меньше 1,01:

  в) Предположим нам удалось разрезать квадрат на три многоугольника M1, M2, M3 нужных диаметров. Пусть вершины A и B принадлежат M1. Отложим на стороне AD отрезок  AG = 0,05,  а на стороне BC – отрезок  BH = 0,1.  Точки G и H не могут принадлежать M1, поскольку  AH > BG > 1,001.  Пусть G принадлежит M2. Тогда H принадлежит M3  (HG = BG > 1,001),  а середина K стороны CD не может принадлежать ни одному из многоугольников:  AK > GK > HK > 1,001.  Противоречие.


Ответ

а), в) Не может;   б) может.

Замечания

Можно доказать, что пример в б) – наилучший (то есть меньшего диаметра чем     добиться нельзя). Точнее, пусть A и B принадлежат M1. Если C и D принадлежат M2, то     Это следует из рассмотрения вершин трёх горизонтальных прямоугольников ⅓×1, на которые можно разрезать квадрат. Если же C принадлежит M2, а DM3, то     (это следует из рассмотрения вершин указанных в б) прямоугольников 1×⅛ и ½×⅞).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 29
Дата 2007/2008
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .