Задача 111709

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Биссектриса угла ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Биссектрисы двух углов вписанного четырёхугольника параллельны.
Докажите, что сумма квадратов двух сторон четырёхугольника равна сумме квадратов двух других сторон.

Решение

Биссектрисы смежных углов четырёхугольника ABCD не могут быть параллельны, так как сумма этих углов меньше 360°. Если же параллельны, например, биссектрисы углов A и C, то  ½ ∠A + ∠B + ½ ∠C = 180°  и  ∠B = ∠D = 90°.  Следовательно,  AB² + BC² = AC² = CD² + DA².

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2008
тур
задача
Номер	4