|
|
 |
Условие
Дана окружность и точка O на ней. Вторая окружность с центром O пересекает первую в точках P и Q. Точка C лежит на первой окружности, а прямые CP, CQ вторично пересекают вторую окружность в точках A и B. Докажите, что AB = PQ.
Решение
Если C совпадает с O, утверждение очевидно, а если
C – точка, диаметрально противоположная O, то ∠CPO = ∠CQO = 90°, то есть прямые CP, CQ касаются второй окружности и точки A, B совпадают с P, Q. В остальных случаях, так как OP = OQ, то CO –
биссектриса угла ACB. При симметрии относительно CO прямые CP и CQ переходят друг в друга, а вторая окружность в себя, следовательно, точка P переходит либо в Q, либо в B. Но
CP ≠ CQ, так что первый случай невозможен. Значит, CP = CB. Аналогично CQ = CA. Отсюда вытекает равенство треугольников CAB и CQP, а значит, и утверждение задачи.
