ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 111713
Условие
а) Докажите, что при n>4 любой выпуклый n -угольник
можно разрезать на n тупоугольных треугольников.
б) Докажите, что при любом n существует выпуклый n -угольник,
который нельзя разрезать меньше, чем на n тупоугольных
треугольников.
в) На какое наименьшее число тупоугольных треугольников можно
разрезать прямоугольник?
Решение
а) При n > 4 у выпуклого n -угольника обязательно есть тупой угол.
Диагональ, соединяющая две вершины, соседние с вершиной этого угла, разрезает
n -угольник на тупоугольный треугольник и ( n - 1 )-угольник. Поэтому, если доказать утвердение задачи для n = 5 , то для остальных значений n оно выводится по
индукции.
Заметим, что любой треугольник можно разрезать на три тупоугольных
треугольника. Действительно, высота, проведенная из наибольшего угла, лежит внутри
треугольника. Взяв на этой высоте точку, достаточно близкую к основанию, и соединив
ее с вершинами, получим требуемое разрезание. Отсюда следует,
что четырехугольник, отличный от прямоугольника, можно разрезать на четыре тупоугольных
треугольника.
Рассмотрим теперь пятиугольник ABCDE . Пусть его угол A тупой. Если BCDE —
не прямоугольник, то проведя диагональ BE и разрезав BCDE на четыре
тупоугольных треугольника, получим требуемое разрезание. Если же BCDE —
прямоугольник, то углы B и E пятиугольника тупые, т.е ACDE не может быть
прямоугольником. Поэтому, проведя диагональ AC и разрезав на четыре треугольника ACDE ,
опять получим требуемое разрезание.
б) Пусть выпуклый n -угольник разрезан на n-1 тупоугольных треугольников.
Сумма их углов равна (n-1)π , а сумма углов n -угольника составляет (n-2)π . Поэтому
сумма углов треугольников, которые не примыкают к вершинам n -угольника,
равна π . Значит, среди них не более одного тупого. Поэтому к вершинам n -угольника
примыкает не менее n - 2 тупых углов треугольников. К одной вершине
выпуклого n -угольника не может примыкать изнутри более одного тупого угла. Значит, n -
угольник имеет не менее n - 2 тупых углов. Но это верно не для всякого выпуклого
n-угольника при любом n Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке