|
|
 |
Условие
Даны две окружности. Общая внешняя касательная касается их
в точках A и B . Точки X , Y на окружностях таковы, что
существует окружность, касающаяся данных в этих точках, причем
одинаковым образом (внешним или внутренним). Найдите
геометрическое место точек пересечения прямых AX и BY .
Решение
Точки X , Y являются центрами гомотетии каждой из данных
окружностей с касающейся. Следовательно, прямая XY проходит через центр
гомотетии данных окружностей, т.е. точку пересечения AB с линией центров.
Пусть Y' — отличная от Y точка пересечения этой прямой с второй
окружностью. Тогда BY'|| AX и XYB=
Y'BA=π-
BAX .
Поэтому четырехугольник AXYB — вписанный и точка P пересечения прямых
AX и BY является радикальным центром данных окружностей и окружности,
описанной около этого четырехугольника, т.е. лежит на радикальной оси данных
окружностей.
