Задача 111722

Темы:    [ Необычные построения (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Условие

Дан треугольник ABC и линейка, на которой отмечены два отрезка, равные AC и BC . Пользуясь только этой линейкой, найдите центр вписанной окружности треугольника, образованного средними линиями ABC .

Решение

Отложим на продолжении стороны AB за точку B и на продолжении стороны AC за точку C отрезки BC₁=CB₁=BC . Пусть A'  — точка пересечения BB₁ и CC₁ . Тогда прямая AA' проходит через искомую точку. Действительно, так как треугольники BCB₁ и CBC₁ равнобедренные, прямые BB₁ и CC₁ параллельны биссектрисам углов C и B . Поэтому при гомотетии с центром A и коэффициентом 1/2 эти прямые перейдут в биссектрисы углов серединного треугольника, а точка A'  — в искомый центр. Аналогично, используя второй отмеченный на линейке отрезок, построим прямую, проходящую через B и исходную точку.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2008
тур
задача
Номер	17