|
|
 |
Условие
Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008-угольника A1A2... A2008, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.
Решение
Обозначим A=A2008 . Диагонали, выходящие из вершины A , делят его на 2006 треугольников AA1A2 , AA2006A2007 . Пусть AM1 , A M2006 – медианы этих треугольников. Покажем, что если фокусник назовет все пары точек (A, Mk) , k = 1,2,.., 2006 , то он сможет угадать площадь многоугольника. Обозначим через Sk площадь, называемую для прямой A Mk , а через 2Tk – площадь треугольника AAkAk+1 . Так как медиана делит треугольник на две равновеликих части, то Sk= Tk+2(Tk+1+..+T2006)) . При этом ясно, что S1=T1 , S2006=T2006 . Заметим, что фокуснику достаточно вычислить значения всех Tk .
Пусть AL – прямая, делящая площадь многоугольника пополам. Заметим, что если отрезок AMk по одну сторону от прямой AL , то фокуснику будут называть площадь многоугольника AA1.. AkMk , а если по другую– то площадь оставшейся части. Поэтому до прямой AL значения Sk будут возрастать, а после– убывать. Таким образом, если S1<..<Sn
Sn+1>..>S2006 (может оказаться, что n=1 или n=2006 ), то при i=1,..,n-1 мы имеем Si=2(T1+..+Ti-1)+Ti , откуда легко вычислить Ti ; аналогично они вычисляются при i=2006,..,n+1 . Осталось вычислить Tn . Но Sn=2
(T1+..+Tn-1,Tn+1+..+T2006)+Tn , откуда вычисляется Tn .
